SỞ GD&ĐT HẢI DƢƠNG   K    THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH  LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2016 - 2017  MÔN THI: TOÁN  Thời gian làm bài: 150 phút  (Đề thi có 01   trang)  Câu 1 (2,0 điểm) .  a)   Cho biểu thức 2   2  P   1   x   (1   x) 1   x   1   x   (1   x) 1   x                               với 1   x   1       .  Tính giá trị   của biểu thức P   khi 1 x   2017     . b) Cho a, b, c   là ba số thực   không âm   thoả mãn a   b   c   a   b   c   2                   .  Chứng minh rằng: a   b   c   2 1   a   1   b   1   c   (1   a)(1   b)(1   c)                          Câu 2 (2,0 điểm).   a)   Giải phươ ng trình:     2   2  2x   2x   1   (2x   1)   x   x   2   1                     b)   Giải hệ phương trình:     2 2 3  x   y   1   xy   x   1 2x   x   y   1                                Câu 3 (2,0 điểm).  a) Tìm các c    s    nguyên (x; y) tho    mãn: 2   2  2x   2y   3x   6y   5xy   7                . b) Tìm   tất cả các   s    t    nhiên n   sao cho 2   2  n   2n   n   2n   18   9                là số chính phương.  Câu 4 (3,0 điểm).  1) Cho tam giác nh    ABC   ( AB < AC ) n    ti       tròn ( O,R ). Các      cao   AD ,   BE ,   CF   c    nhau t    H   ( D   thu    BC ,   E   thu    CA ,   F   thu    AB ). Tia   EF   c    tia   CB   t    P ,   AP   c       tròn ( O,R ) t    M  ( M   khác   A ). a) Ch    minh r  :   PE . PF   =   PM . PA   và   AM   vuông góc v    HM . b) Cho c    BC   c     ,    i    A   di chuy    trên cung l    BC . Xác      v    trí c    A      di    tích   BHC      giá tr    l    nh  . 2) Cho tam giác   ABC   có góc A nh  , n    ti       tròn tâm   O.   M  t    i    I   chuy       trên cung  BC   không ch     i    A   ( I   không trùng v    B   và   C ).      th    vuông góc v    IB   t    I   c      th    AC   t    E ,      th    vuông góc v    IC   t    I   c       th    AB   t    F . Ch    minh r      th    EF   luôn    i qua m     i    c     .  Câu 5 (1,0 điểm).   Cho a, b, c   là ba số thực dương thoả mãn 2   2   2  a   b   c   3          .  Chứng minh rằng: 2   2   2   2   2   2 2   2   2   2   2   2  a   3ab   b   b   3bc   c   c   3ca   a   3 6a   8ab   11b   6b   8bc   11c   6c   8ca   11a                                           .  *************** Hết *************** H    và tên thí   sinh:.......................................................Số   báo   danh:................................  Ch    kí giám th    1:.........................................Chữ   kí giám th    2:........................................    CCâu 1 (2,0 điểm).  a) Cho biểu thức 2   2  P   1   x   (1   x) 1   x   1   x   (1   x) 1   x                               với 1   x   1       .  Tính giá trị của biểu thức P   khi 1 x   2017     . b) Cho a, b, c   là ba số thực   không âm   thoả mãn a   b   c   a   b   c   2                   .  Chứng minh rằng: a   b   c   2 1   a   1   b   1   c   (1   a)(1   b)(1   c)                          Bài làm a. 2   2  P   1   x   (1   x) 1   x   1   x   (1   x) 1   x                             2   2  P   1   x   1   1   x   1   1   x                                 (vì 1   x   1       ).  Lúc đó suy ra     2   2  P   (1   x) 2   2 1   (1   x )   2(1   x)(1   x )                         . Mà 2   2  P   1   x   (1   x) 1   x   1   x   (1   x) 1   x   0                                  .Nên từ đó ta suy ra P   2(1   x)       (vì 1   x   0      ) .Vì 1 x   0 2017        nên suy ra 2018 P   2 2017     . b.    x   a; y   b;z   c   xy   yz   xz   1   a   1   (x   y)(x   z)                                     .  Tương tự ta có b   1   (z   y)(x   y);c   1   (z   x)(z   y)                         .Nên lúc đó ta có : a   b   c   2(xy   yz   xz)   2   VP 1   a   1   b   1   c   (x   y)(y   z)(z   x)   (1   a)(1   b)(1   c)                                             Câu 2 (2,0 điểm).   a) Giải phương trình:     2   2  2x   2x   1   (2x   1)   x   x   2   1                     b) Giải hệ phương trình:     2 2 3  x   y   1   xy   x   1 2x   x   y   1                                Bài làm  a.           2   2   2   2   2  2x   2x   1   (2x   1)   x   x   2   1   (x   x   2)   x   x   1   (2x   1)   x   x   2   1 (1).                                                           2   2   2  t   x   x   2   1   x   x   2   (t   1)                            .Thay vào phương trình   (1) ta có : t   x (t   x)(t   x   1)   0   t   x   1                      .  Với 2   2  x   1   1 t   x   x x   x   2   (x   1)   3                              .  Với 2   2  x   1 t   x   1   x   2 x   x   2   x                              .

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 9 THCS năm học 2016-2017 sở GD và ĐT Hải Dương

Phßng GI ̧O DôC-§  O T¹O tiÒn h¶i  M«n:   to ̧n 9  ( Thêi gian 120 phót l  m b  i )  B  i 1   (4 ®iÓm ). T    : a) A =   4   10   2   5   4   10   2   5               b) B =   (   )(   )   (   )(   )   (   )(   ) a   bc   b   ca   c   ab   b   ca   c   ba   a   bc c   ab   a   bc   b   ca                              (Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1)  B  i 2   ( 3 ®iÓm ).  a) T  4   + ax   3   + bx – 1 chia hết cho đa thức x   2    b) Chứng minh rằng : B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y   2   z 2   là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên .  B  i 3   (4 ®iÓm).  a) Tìm m để phương trình :   2   1   3 2  m   m x            vô nghiệm . b) Giải phương trình :   2 4   1   5   14 x   x   x             . c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :   3  xy   yz   zx z   x   y           .  B  i 4   (7 ®iÓm )   .  Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. a) Biết AB = 6 cm, HC = 6,4 cm. Tính BC, AC. b) Chứng minh : DE 3   = BC.BD.CE . c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh M, A, N thẳng hàng. d) Chứng minh rằng : BN, CM, DE đồng quy.  Bài 5 (2    i  m)   : Cho đa thức f(x) = x   4   + ax   3   + bx   2   + cx + d (với a, b, c là các số thực). Biết f(1) = 10 ; f(2) = 20 ; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = f(8) – f(-4) . ---------------------------- Hết -----------------------------  Hä tªn häc sinh.............................................................SBD...............Phßng..........  

Đề thi học sinh giỏi năm học 2017 – 2018 môn Toán 9 phòng Giáo dục và Đào tạo Tiền Hải – Thái Bình

TRƯỜ NG    I H  C QU  NG NAM  KHOA TOÁN  TUY  N T  P 100 Đ    THI H  C SINH GI  I  MÔN: TOÁN L  P   9  H    và tên:  .................................................................................................... L  p:.............................................................................................................  Trườ ng: ...........................................................................................................  Ngườ i t  ng h  p:   H    Kh   TP Tam K  , tháng   11 năm 2016Mét sè ph-¬ng ph ̧p gi¶I ph-¬ng tr×nh v« tØ  1 . Ph-¬ng ph ̧p ® ̧nh gi ̧ VÝ dô 1:   Gi¶i ph-¬ng tr×nh. 2   2  3   6   7   5   10   14 x   x   x   x                = 4      2x      x 2 Gi¶i :  VÕ tr ̧i :     2  3   1   4 x        +     2  5   1   9   4   9 x               = 5  VÕ ph¶i : 4      2x    x 2   = 5      (x +1) 2      5.  VËy pt cã nghiÖm khi:   vÕ tr ̧i = vÕ ph¶i = 5.   x+ 1 = 0      x =   - 1. VÝ dô 2 :   Gi¶i ph-¬ng tr×nh. 3   2   1   3 x   x            Gi¶i :  + §iÒu kiÖn : x    - 1  Ta thÊy x = 3 nghiÖm ®óng ph-¬ng tr×nh.  Víi x > 3 th× 3   2 x      > 1 ; 1 x      >2 nªn vÕ tr ̧i cña ph-¬ng tr×nh lín h¬n 3.  Víi   - 1      x < 3 th× 3   2 x      < 1 ; 1 x      < 2 nªn vÕ tr ̧i cña ph-¬ng tr×nh nhá  h¬n 3.  VËy x = 3 lμ nghiÖm duy nhÊt. VÝ dô 2 :   Gi  i ph -¬ ng tr×nh:  3   4 x   + 1 4    x   = - 16x 2 - 8x+1   (1)  Gi¶i   4 3 4 1        x   (*)  Ta cã     2  3   4   4   1   3   4   2   (3   4 )(1   4 )   1   4 4   2   (3   4 )(1   4 )   4  x   x   x   x   x   x x   x                                           2 4 1 4 3          x x  (2)  L¹i cã   :   - 16x 2 - 8x+1=2 - (4x+1) 2    2   (3)  Tõ (2) vμ (3) ta cã:                 2 1 8 16 2 4 1 4 3 ) 1 (   2   x x x x                   0 1 8 16 4 4 1 ) 4 1 )( 4 3 ( 2 4 3  2   x x x x x x             4 1 0 ) 4 1 )( 4 3 (  x x x                       4 1 4 1 4 3  x x x 4 1       x  (tho¶ m·n(*))

Tuyển tập 100 đề thi học sinh giỏi môn Toán 9 – Hồ Khắc Vũ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ CẦN THƠ  KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013 Khóa ngày 11/04/2013 MÔN THI: TOÁN  Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.  Câu 1   (5,0 điểm)  1. Cho biểu thức   P   = 2 m   +    16 m   + 6  m   + 2  m      3   +   m      2   m      1 +   3   m   + 3      2  a) Rút gọn   P   . b) Tìm giá trị tự nhiên của   m      P   là số tự nhiên. 2. Tính giá trị   ( a 3   + 15 a      25) 2013   với   a   =   3   13      7  6 +   3   13 + 7  6 .  Câu 2   (5,0 điểm)  1. Giải phương trình:    x   + 5 +    3      x      2   (  15      2 x      x 2   + 1 )   = 0 . 2. Tìm giá trị của   m     {   2 x 2   +   mx      1 = 0  mx 2      x   + 2 = 0  Câu 3   (5,0 điểm)  1. Tìm tất cả các số nguyên dương   x, y, z   thỏa   1  x   + 1  y   + 1  z   = 2 . 2. Cho hai số   x, y   thỏa mãn:  {   x   +   y      2  x 2   +   y 2   +   xy   = 3  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức   T   =   x 2   +   y 2      xy .  Câu 4   (2,0 điểm)  Cho đường tròn   ( O ;   R )   và hai điểm   A, B   nằm ngoài đường tròn sao cho   OA   = 2 R . Tìm điểm   M  trên đường tròn để   M A   + 2 M B     Câu 5   (3,0 điểm)  Cho tam giác   ABC   có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn   ( O ;   R ) . Gọi   P   là một điểm di động trên cung   BC   không chứa   A . 1. Gọi   M, N   lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ   A   xuống   P B, P C . Chứng minh rằng đường thẳng   M N   luôn đi qua một điểm cố định. 2. Gọi   I, D, E   là chân các đường cao lần lượt hạ từ   A, B, C   xuống các cạnh   BC, CA, AB . Chứng minh rằng chu vi tam giác   IDE   không đổi khi   A, B, C   thay đổi trên đường tròn  ( O ;   R )   sao cho diện tích của tam giác   ABC   luôn bằng   a 2 .   Ghi chú:   Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Tuyển tập 45 đề thi HSG Toán 9 có lời giải chi tiết

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN  TRƯỜNG THCS THANH LÃNG    NĂM HỌC 2017 - 2018     MÔN: TOÁN 9  Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề  Câu 1:  a)   Tính   giá   trị   của      thức 4   2016  ( )   (   3   1) f x   x   x =      +   tại 1   1 9   9   9 5   5 4   4  x   =      +    +  b)   So sánh 2   2  2017   1   2016   1          và 2   2  2.2016 2017   1   2016   1    +     c)   Tính   giá   trị   biểu   thức: 2   2  sin   cos sin .cos   1   cot   1   tan  x   x x   x   x   x  +   + +   +   với 0 0 <   x   < 90 0  d)   Biết 5   là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 2   3   9   20   5 a   b   5   a   b   5     = −    +     Câu 2:   Giải phương trình sau: 3   2   1   3 3   1   2   3         =         x   x x   x  Câu 3:  a)   Cho đa thức P(x) = ax 3   + bx 2   + cx + d với a,   b, c, d là các hệ số nguyên.   Chứng  minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d   .  b)   Tìm n ghiệm nguyên của phương trình:   x 2      xy + y 2      4 = 0  c)   Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1.   Chứng minh rằng n 4   + 4 n   là hợp số.  Câu 4:  a)   Chứng minh rằng 2  4 4   b a   + 2 2 3 3   b a b a ab    +   b)   Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện 1   1   1 +   +   =2 a + b + 1   b + c + 1   c + a + 1  Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a).  Câu 5:  Cho ABC    nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường  vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F .  a)   Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC  b)   Giả   sử HD = 1 3   AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3  c)   Gọi M,   N lần   lượt   là   chân      vuông   góc   kẻ   từ D đến BI và CK.  Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng   hàng.  ---------------------   Hết   ----------------------  Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay khi làm bài.  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN  TRƯỜNG THCS THANH LÃNG  HDC KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN 1  NĂM HỌC 2017 - 2018  MÔN: TOÁN 9  Câu              Câu 1   a)  1đ 2   2  2   2 9   5   2   5   2  x             =      +                        + 2   2 9   5   2   5   2  =      +    +   = (   )  2   2  2   5   4   2   5   4 9   9   8   1 5   2  +      +    =      =    0.75 ( )   (1)   1 f   x   f =   =  0.25  b)  1đ  Ta có 2   2   2   2 2   2 2   2  (   2017   1   2016   1)(   2017   1   2016   1) 2015   1   2014   1   2017   1   2016   1              +             =      +    2   2   2   2 2   2   2   2   2   2  (2015   1)   (2014   1)   2017   2016   (2017   2016)(2017   2016) 2017   1   2016   1   2017   1   2016   1   2017   1   2016   1                 + =   =   =    +         +         +     0.5 2   2   2   2  2017   2016   2.2016 2017   1   2016   1   2017   1   2016   1  + =       +         +     Vậy 2   2  2017   1   2016   1          > 2   2  2.2016 2017   1   2016   1    +      0.5  c)  1đ 2   2  sin   cos sin   .cos   cos   sin 1   1 sinx   cos  x   x x   x   x   x x  +   + +   +  0.25 3   3  sin   cos sin .cos   1   cos   1+sinx  x   x x   x   x  =   +   + +  0.25 (   )  (   )  2   2 3   3   sinx   cos   sin   sinx.cos   cos sin   cos sin   .cos   sin   .cos sinx   cos   sinx   cos  x   x   x   x x   x x   x   x   x x   x  +      + + =   +   =   + +   +  0.25 sin .cos   1   sin .cos   1 x   x   x   x =   +      =  0.25  d)    a   b 5    (*) 2   3   9   20   5 a   b   5   a   b   5 2(a   b   5)   3(a   b   5)   (9   20   5)(a   b   5)(a   b   5)     = −    +             +   = −   +   +    2   2   2   2  9a   45b   a   5( 20a   100b   5b)          =      +   +  (*)  Ta thấy (*) có dạng A   B 5 =   trong đó A, B Q    , nếu A B   0 thi   5   I B     =      vô lí vậy  B = 0 => A= 0.  Do đó (*) 2   2 2   2  9a   45b   a   0 20a   100b   5b   0           =     +   +   =   2   2   2   2 2   2  9a   45b   a   0   9a   45b   a   0 9   9 9a   45b   b   0   a   b 4   4            =         =                +   +   =   =         2  9 a   b   a   9   a   0 hoac 4   b   4   b   0 b   4b   0     =   =   =                 =   =           =   (không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4

Đề khảo sát HSG lần 1 Toán 9 năm 2017 – 2018 trường THCS Thanh Lãng – Vĩnh Phúc

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2017 – 2018 phòng GD&ĐT thành phố Thái Nguyên

PHÒNG GD&ĐT TH    XÃ K    ANH  TRƯ  NG THCS SÔNG TRÍ      THI CHÍNH TH  C  (Đ    thi có 01 trang)  K    THI CH  N H  C SINH GI  I C  P TRƯ  NG  NĂM H  C: 2017   -   2018      THI CÁ NHÂN  Môn: TOÁN   L  P 9  Th  i gian làm bài: 120 phút  I. PH  N GHI K  T QU    ( thí sinh ch    c  n ghi   k  t qu    vào t    gi  y thi )  Câu 1.   Tính giá tr    c  a bi  u th  c: 1   5   1   5 2   3   5   2   3   5  A   +    =   + +   +        Câu 2.   Cho (   )  1   1 f   1   1  x  x   x x   x  +   +    =   +         và 4 1 3   3  a   = +   Tính giá tr  ( ) f   a  Câu 3.   Tìm các   nghi  m nguyên x, y c  a phương trình : 2   3   2   3  6   3   10   2 x y   x   y +      = −  Câu 4 .   C ho 1   1   1   0  a   b   c  +   +   =   .Tính giá tr    c  a bi  u th  c: 2   2   2  ab   bc   ca P   c   a   b  =   +   +  Câu 5.   Tìm s    h  ng th    6 c  a dãy s    sau đây 1; 2; 3; 7; 37; ....  Câu 6.   Gi  i phương trình   : 3   2   1   5 x   x    +      =  Câu 7.   Tìm các s    t    nhiên k đ    cho s  4   7  2   2   2 k   +   +   là s    chính phương  Câu 8.   Tìm hai s    h  u t    x, y th  a mãn đ  ng th  c: (   )   (   )  3   3  18   17   18   17   18   17 x   y    +   +   =     Câu 9.   Cho   tam giác ABC vuông t  i A, đư  ng cao AH,     ng phân giác AD.Bi  t BH = 63 cm;  CH = 112 cm.   Tính HD  Câu 10.   Tam giác ABC   có 0   0  105 ,   45 ,   4 A   B   BC   cm =   =   =   .Tính đ    dài AB và AC  II. PH  N T    LU  N   ( thí si nh trình bày l  i gi  i vào t    gi  y thi )  Câu 11.   Cho các s    th  c x, y th  a mãn 3   3  5   5 x   y   y   x +      =   +      Tìm GTNN c  a bi  u th  c: 2   2  4   3   1 P   x   xy   y   x   y =      +   +   +   +  Câu 12.   a)   Gi    s    D là m  t đi  m n  m trong tam giác nh  n ABC sao cho 0  90 ADB   ACB =   +   và .   . AC BD   AD BC =  Ch  ng minh r  ng .   2 .  AB CD AC BD   =  b)   Cho tam giác ABC. Bi  t r  ng t  n t  i hai đi  m M,N l  n lư  t trên các c  nh AB, BC sao cho 2   BM   BN AM   CN  =  và BNM   ANC =   . Ch  ng minh r  ng tam giác ABC vuông  ---------   H  T ---------  Lưu ý:   -   Thí sinh không đư  c s    d  ng tài   li  u và máy tính c  m tay;  -   Thí sinh làm bài vào t    gi  y thi.  -   Giám th    không gi  i thích gì thêm.  H    và tên thí sinh:.......................................................................... S    báo danh:.............................PHÒNG GD&Đ T TH    XÃ K    ANH  TRƯ  NG THCS SÔNG TRÍ  K    THI CH  N H  C SINH   GI  I C  P TRƯ  NG  NĂM H  C 2017   -   2018  Môn: TOÁN   -   Ph  n thi: CÁ NHÂN  Hư  ng d  n ch  m  Lưu ý :   -   T    câu 1 đ  n câu 10 thí sinh ch    c  n ghi k  t qu  , không trình bày l  i gi  i.  -   M  i cách   gi  i khác đáp án, đúng và ng  n g  n đ  u cho đi  m tương    ng.  Câu        m  Câu 1  1.5đ     : 2 A   = −   . Trư  c h  t tính 1   2 2  A   A = −    = −   1.5đ  Câu 2  1.5đ    : (   ) f   3   2 a   =   +  Cho (   )  2 2 (   )  1   1 1   1   1   1   2   1 f   (   1)   (   1)   2 1   1  x  x   x x   x   x   x   x x   x x   x  +   +    +   +      +   +      +    =   =   = +       +       2   1 x   x =   +     và 4   3 1 3   3  a   =   = +   Nên (   ) f   3   2 a   =   +  1.5đ  Câu 3  1đ    :   Các nghi  m nguyên (x,y) là (2; - 1) và ( - 2; - 1) 2   3   2   3   2   3   2   3  6   3   10   2   6   3   10   5   7 x y   x   y   x y   x   y +      = −      +         = − (   )   (   )   (   )(   )  2   3   3   2   3  3   2   1   5 2   1   7   3   5   2   1   7 x   y   y   x   y    +      +   = −         +   = −  Suy ra ,   các   nghi  m nguyên (x,y) là   (2; - 1) và ( - 2; - 1)  1đ  Câu 4  1đ    :   3  Ta có: n  u 0 x   y   z +   +   =   thì 3   3   3   3 x   y   z   xyz +   +   =   nên 1   1   1   0  a   b   c  +   +   =   thì 3   3   3  1   1   1   3  a   b   c   abc  +   +   =  Do đó 2   2   2   3   3   3   3  ab   bc   ca   abc   abc   abc p   c   a   b   a   b   c  =   +   +   =   +   +   =  1đ  Câu 5  1đ    :   1159  Quy lu  t 2   2 2   1   1 n   n   n   n   n a   a   a   a   a +   +   + =         +   v  i 1, n   n      Suy ra 2   2   2   2 6   5   5   4   4 .   7   7.37   37   1159 a   a   a a   a =      +   =      +   =  1đ  Câu 6  1đ    : 10 x   =   1 x      khi đó 3   2   1   5 x   x    +      = (   )   (   )  3   2   2   1   3   0 x   x          +         = 2   3 3  10   10   0   10   0 1   3 (   2)   2   2   4  x   x   x x x   x         +   =         =    +    +      +  Vì 2   3 3  1   1   0 1   3 (   2)   2   2   4   x x   x   +       +    +      +   v  i m  i 1 x      Do đó x = 10  1.5đ  Câu 7  1đ    :   k = 8  Gi    s  : (   )   (   )(   )  4   7   2   2  2   2   2   2   144   12   12 k   k  a   a   N   a   a   a +   +   =         =      =   +       t: 12   2 ;   12   2 m   n  a   a +   =      =   V  i ,   ; m n   N m   n       và m   n   k +   =   . Ta đư  c (   )  2   2   24   8.3   2   2   1   8.3 m   n   n   m   n      =   =         =  Suy ra n = 3 ; m = 5 ; k = 8  Th    l  i 8   4   7   2  2   2   2   400   20 +   +   =   =  1đ  Câu 8    :   x = 17,5; y = 0,5 (   )   (   )  3   3  18   17   18   17   18   17 x   y    +   +   =    18   17   18   17   18 18   17 17 x   x   y   y       +   +   =    (   )   (   )  18   18   17   17 x   y   x   y    +      =        1đ

Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp trường năm 2017 – 2018 trường THCS Sông Trí – Hà Tĩnh

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT Đồng Tháp

Trang 1/1  Câu 1   (3, 0 điể m):   Cho bi  u th  c 3   3 3   3 1   1   2   1   1   :   x   y   x   x   y   y A   x   y x   y   x   y   x y   xy            +   +   + =   +      +   +               +   +             v  i   0,   0 x   y >   >  a)   Rút g  n bi  u th  c   A.  b)   Bi  t   xy   = 16. Tìm các giá tr    c  a   x, y      A   có giá tr    nh    nh  t, tìm giá tr       Câu 2   (4,0 điể m)  2.1 . Tìm nghi  m nguyên c    3   2 4   5   3   0 x   x   xy   x   y       +   +   +   =   .  2.2 . Tìm s    t    nhiên n ≥ 1 sao cho tổ ng 1! + 2! + 3! + ... + n! là m  t s    chính  phương .  Câu 3   ( 5,0    m)  3.1.   Cho phương trình:   (   ) 2   2 2   1   6   0 x   m   x   m   m    +   +   +      =   . Tìm   m      phương trình   có 2 nghi  m   1   2 , x   x   tho    mãn   3 2 3 1   x x      =50.  3.2.   Gi  nh   3   2   3   1 x   x    =         .  3.3.   Gi  i h    phương trình  2   2   2(   )   7 (   2 )   2   10  x   y   x   y y y   x   x  +   +   +   =           =   .  Câu 4   (6,0 điể m):   Cho đườ ng tròn tâm   O    ng kính   AB . V    dây cung   CD   vuông góc v  i   AB   t  i   I   ( I   n  m gi  a   A   và   O   ). L  m E trên cung nh    BC   (   E   khác   B   và   C   ),   AE  c  t   CD   t  i   F . Ch  ng minh:  a)   T    giác   BEFI   là t    giác n  i ti  ng tròn.  b)   AE.AF = AC   2 .  c)   Khi   E   ch  y trên cung nh    BC   thì tâm đườ ng tròn ngo  i ti  CEF   luôn thu  c m  ng th  ng c     nh.  Câu 5   ( 2,0 điể m):   Cho   , , a b c   là 3 s    th  c   dương thỏ a mãn   3 ab   bc   ca   abc +   +   =   . Ch  ng minh r  ng:   2   2   2 3 2  a   b   c a   bc   b   ca   c   ab  +   +    +   +   +   .  .......................H  T........................  - Thí sinh không s    d  ng tài li  u - Cán b    coi thi không gi  i thích gì thêm.  UBND T  S    GIÁO D  O K         NĂM HỌ C 2017-2018  Môn: Th    150 phút   (không k    th  )  Ngày thi:   22/4/2018      THI CHÍNH TH  C  (Đ    thi có 01 trang)Trang 1/4    Môn: Toán  Câu 1.   ( 3,0 điểm)     Nội dung     a  3   3 3   3 1   1   2   1   1 .   :   x   y   x   x   y   y A   x   y x   y   x   y   x y   xy            +   +   + =   +   +   +               +   +              (   ) (   )   (   )  (   ) - 2 =   .   :   x   y   x   xy   y   xy   x   y x   y   x   y xy xy   x   y   xy   x   y  +   +   +   +     +   + +         +   +     0,5  (   )   (   )  (   ) 2 =   :   x   y   x   y x   y xy xy   xy   x   y  +   +     + +           +      0,5  (   )   2 =   .   .  x   y   xy xy   x   y  + +   0,5  x   y xy  + =   0,5  b  Ta có   (   )   2 0   - 2   0 x   y   x   y   xy          +      2   . x   y   xy    +      0,25 Do       2   2   16   1 16  xy x   y A   xy   xy  + =      =   =   0,5 V  y min   A = 1   khi   4. 16  x   y   x   y xy     =       =   =    =     0,25  Tổng điểm câu   1   3,0  Câu 2   (        Nội dung     2.1  (   )   (   ) 3   2   3 4   5   3   0   4   3   2   2   5 x   x   xy   x   y   x   x   x   y   xy   x       +   +   +   =         +   +      +      = −   0,25  (   )(   )   (   )   (   ) 1   3   1   2   1   5 x x   x   y x   x                +      = −   0,25  (   )   (   ) 2 1   3   2   5 x   x   x   y             +   = −   0,25  Ta có bảng   kết quả sau 1 x      1   5    5   1  2   3   2 x   x   y       +   5    1   1    5  x   2   4    6   0  y   5   29   21   3  1,0  Vậy   (   )   (   ) (   ) (   ) (   ) {   } ,   2;5 ,   4; 29 , 6; 21 , 0;   3 x y            0,25  2.2   Với n = 1 thì 1! = 1 = 1 2   là số chính phương .   0,5  Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương   0,5  UBND TỈNH LAI CHÂU  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH  NĂM HỌC 2017 -2018

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT Lai Châu

S    GIÁO D  C VÀ ĐÀO T  O  THANH HÓA      CHÍNH TH  C  KÌ THI CH  N H  C SINH GI  I C  P T  NH  NĂM H  C 2017 - 2018  Môn thi: TOÁN   -   L  p 9   THCS  Th  i gian:   15 0 phút   (không k    th  i gian giao đ  )  Ngày   thi: 10 tháng 3 năm 2018  (Đ    thi có 01 trang, g  m 05 câu)  Câu I   (4 ,0 điể m).  1.   Cho bi  u th  c 2  2   1   1   2   2 1  x   x   x   x   x P   x   x   x   x   x   x   x   x                               , v  i 0,   1. x   x       Rút g  n P  và tìm t  t c    các giá tr    c  a x   sao cho giá tr    c  a   P   là m  t s    nguyên.  2.   Tính giá tr    c  a bi  u th  c 2018   2017 2  4(   1)   2   2   1 2   3  x   x   x   x P   x   x                  t  i 1   3   . 2   3   2   2   3   2  x            Câu II   (4,0 điể m).  1.   Bi  2  (   2)   2(   1)   0 m   x   m   x   m                có hai nghi    dài hai c  nh góc vuông c  a m  t tam giác vuông. Tìm m         dài đườ ng cao    ng v  i c  nh huy  n c  a  tam giác vuông đó bằ ng 2 . 5  2.   Gi  i h    phương trình 2   2   2  (   ) (8   8   4   13)   5   0 1 2   1  x   y   x   y   xy x   x   y                                   Câu III   (4,0 điể m).  1 .   Tìm nghi  m nguyên c  2   2   2  5   62   (   2)   (   6   8) . y   y   y   x   y   y   x                     2.   Cho , a b   là các s    nguyên dương thỏ a mãn 2   2  p   a   b       là s    nguyên t    và 5 p      chia h  t cho 8. Gi    s  , x y   là các s    nguyên th  a mãn 2   2  ax   by    chia h  t cho p   .   Ch  ng minh r  ng c   hai s  , x y   chia h  t cho p   .  Câu IV   (6 ,0 điể m).  Cho tam giác ABC   có (   ),( ),(   ) a O   I   I   theo th    t    là   các đườ ng tròn ngo  i ti  ng tròn n  i ti  ng tròn bàng ti  i di  nh A   c  a tam giác v  i các tâm   tương ứ ng là , ,   a O I I   . G  i D   là ti  m c  a ( ) I   v  i BC   , P   là    m chính gi  a cung   c  a (   ) O   , a PI   c  t (   ) O   t  i   m K   . G  i M   là giao điể m c  a PO   và , BC N   là    m    i x  ng v  i P   qua . O  1.   Ch  ng minh a IBI C   là t    giác n  i ti  p.  2.   Ch  ng minh a NI   là ti  p tuy  n c  ng tròn ngo  i ti  p tam giác . a I MP  3.   Ch  ng minh a DAI   KAI    .  Câu V   (2 ,0 điể m).  Cho ,   , x y z   là các s    th  a mãn . x   z    Ch  ng minh r  ng 2 2  2   5 . 2  xz   y   x   z y   yz   xz   yz   x   z                  -------------   H  T   -------------- BAC  S    báo danh  ..................................S    GIÁO D  C VÀ ĐÀO T  O  THANH HÓA    CHÍNH TH  C  KÌ THI CH  N H  C SINH GI  I C  P T  NH  NĂM H  C 2017 - 2018  Môn thi:   TOÁN      L  p 9 THCS  Th  i gian:   150 phút   (không k    th  i gian giao đ  )  Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018  HƯỚ NG D  N CH  M  (G  m có 05 trang)  Câu   N  I DUNG     m  I  4,0    m  1. Cho bi  u th  c 2  2   1   1   2   2 1  x   x   x   x   x P   x   x   x   x   x   x   x   x                               , v  i 0,   1. x   x      Rút g  n P   và tìm t  t c    các giá tr    c  a x   sao cho giá tr    c  a   P   là m  t s    nguyên  2, 5  V  i đi  u ki  n 0,   1 x   x       , ta có:                        2   1   2   2   1 1   1   1   1   1  x   x   x   x   x P   x   x   x   x   x   x   x   x   x   x                                          0,50                      2   1   1   2   2   1 1   1  x   x   x   x   x   x   x x   x   x   x                                0,50             2 1   1  x   x   x x   x   x   x                 0,50                1   2   2   . 1 1   1  x   x   x x   x x   x   x                           0,50  Ta có v  i đi  u ki  n 0,   1   1   1   1 x   x   x   x   x                       2   2   1 0   1   2 1   1   1  x   x P   x   x   x   x                                    Do P   nguyên nên suy ra 2 1   1   1 1  x P   x x   x                      (lo  i).  V  y không có giá tr    c  a x     P   nh  n giá tr    nguyên.  0,50  Chú ý 1 : Có th    làm theo cách sau      2   1   2   0 1  x P   Px   P   x   P x   x                           ,   coi đây là phương trình b  c hai c  a x   .  N  u 0   2   0 P   x             vô lí, suy ra 0 P      nên đ    t  n t  i x   thì phương trình trên có            2  1   4   2   0 P   P P                  2 2   2   4   4 3   6   1   0   2   1   1 3   3  P   P   P   P   P                                 Do   P   nguyên nên     2  1 P      b  ng 0 ho  c 1  +) N  u     2  1   0   1   1 P   P   x                   không th  a mãn.  +) N  u     2   2 1   1   2   2   0   0 0  P P   P   x   x   x P                                       không th  a mãn  V  y không có giá tr    nào c  a x th  a mãn.  0,50  2.   Tính   giá   tr    c  a   bi  u   th  c       2018   2017 2  4   1   2   2   1 2   3  x   x   x   x P   x   x                  t  i 1   3   . 2   3   2   2   3   2  x            1 , 5

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 9 năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT Thanh Hóa

UBND TỈNH BẮC NINH  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  (Đề thi có 01 trang)      THI CH  N H  C SINH GI  I C  P T  NH  NĂM HỌC 201 8 –   201 9  Môn thi : Toán      L   Th  i gian làm bài :   150 phút   (không kể thời gian giao đề)  Câu 1 .   ( 4,0    m )  1)   Rút g  n bi  u th  c:  3   3 3   3 2(   )   2   2 . 2   2   2   2 2   2  a   b   a   a   b P   a a   ab   b   b   ab a   b                                                                 v  i   0,   0,   2 . a   b   a   b         2) Cho hàm số       2   4   4   3   2 y   m   m   x   m                có đồ thị là   d   . Tìm tất cả các giá trị của   m     d   cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm   A ,   B   sao cho tam giác   OAB  có diện tích là   1   2 cm   ( O   là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục là   cm   ).  Câu   2.   ( 4,0    m )  1) Cho phương trình       2   2 3   2   2   5   3   0 x   m   x   m   m                   ,   x   là ẩ n,   m   là tham số. Tìm tấ t c    giá trị   c    m      phương trình có ít nhất mộ t nghi   2)   Gi  i h    phương trình   3   3   2 2   1   3   1   2 3   2   2  x   y   y   x   x   y x   x   y   y                                             Câu 3 .   ( 4,0    m )  1) Cho các số   th    , , a b c   th  u ki  n   2 (   )(   )   4 a   c   b   c   c          . Tìm giá trị  lớ n nh    nh    nh  t c  u th  c   3   3  a   b   ab P   b   c   a   c   bc   ca                  .  2) Tìm số   nguyên tố   p   th    3   4   9 p   p       là số   chính phương.  Câu   4.   ( 7,0    m )  1)   Cho tam giác   ABC   n  i ti           O   AB   AC    và đường cao AD   . V      AE   c      O   .  a) Chứng minh rằ ng   .   . AD AE   AB AC    . b) V    dây   AF   c        O   song song vớ i   , BC EF   c  t   AC   t  i   , Q BF   c  t   AD   t  i  P   . Chứng minh rằ ng   PQ   song song   v  i   BC   . c) G  i   K   là giao điểm của   AE   và   BC   .   Chứng minh rằ ng:  .   . .   . . AB AC   AD AK   BD BK CD CK      2) Cho tam giác   ABC   có       90 ,   20 BAC   ABC           . Các điểm   E   và   F   lần lượ t n  các cạ nh   , AC AB   sao cho      10 ABE         và      30 ACF         . Tính    CFE   .  Câu   5.   ( 1,0    m )  Trong kì thi Olympic có   17   h    báo danh   là số   t    nhiên  trong khoả ng t    1    n   1000.   Chứng minh rằ ng có th    ch    9   h   báo danh được mang chia hết cho   9.  -------- HẾT --------  H       CHÍNH   TH  CUBND TỈNH BẮC NINH  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  HƯỚNG DẪN CHẤM  THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 201 8   -   201 9  Môn: Toán   - Lớp 9 Câu       m 1 .1.   (2,0 điể m)  Ta có                        3   3 3   3 2   2   2   2   2   2   . a   b   a   b   a   b   a   ab   b                    Suy ra                         3   3 2(   )   2 2(   ) 2   2 2   2   2   2   2 2   2   1   . 2 2   2   2  a   b   a   a   b a   b   a a   ab   b a   b   a   b   a   ab   b a   ab   b a   b a   b   a   ab   b                                              0,75                     3   3 2 2   2   2 2   2 2   2   2   2 2 2   2   2   2   2   . 2   2   2  a   b   a   ab   b a   b   a   a b   ab   b   b   a a   b a   ab   b   a   ab   b a b   b   b                                            0,75  T           2 2 1   2 .   . 2   2   2  a   b   a   b P a   b   b   b            0,5  Cách 2:    t   ;   2 x   a y   b       ta đượ c  2   2   3   3 3   3   2   2   2 2   .  x   y   x   x   y P   x x   y   x   xy   y   y   xy                                                                       v  i   0;   0, x   y   x   y          .  1.2 . ( 2,0     m)  Vì ba điểm   ,   , O A B   tạo thành một tam giác nên   2   4   4   0 m   m          và   3   2   0 m         .  Tọa độ giao điểm   A   của   d   và   Ox   là   2   2 2   3   2   3 ; 0 4   4   4   4  m   m A   OA m   m   m   m                                             .   0,5  Tọa độ giao điểm   B   của   d   và   Oy   là       0; 3   2   3   2 B   m   OB   m             .   0,5  Do tam giác   ABO   vuông tại   O   nên   2 1   1   2   3 .   3   2   1 2   2   4   4  OAB m S   OAOB   m m   m                   0,5  Do đó,                  2   2   2 2   2 2 3   2   9   12   4   2   4   4 2   9   12   4   2   4   4 4   4  m   m   m   m   m m   m   m   m m   m                                                2 2 2 7   4   12   0 2 11   20   4   0   11  m m   m m   m   m                                                  (thỏa mãn)  0,5  2. 1 . (2 , 0 đi  m)                   2   2 2   2 3   2   4 2   5   3   8   16   4   0, m   m   m   m   m   m   m                                     .   Do    phương trình luôn có nghiệm, các nghiệm là   1   2 2   1;   3 x   m   x   m             . 1,0  Phương trình có ít nh  t m  t nghi  m dương khi và ch    khi   1,0

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh

PHÒNG GD&ĐT   THẠCH HÀ     NĂM HỌC 201 8      201 9  Môn thi: Toán 9  ( Thời gian   làm bài :   150 phút )  Câu 1.   (4,5 điểm)  1.   Tính giá trị biểu thức        A   4   15   10   6   4   15            2.   Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: 2  2018 2   3  M   x   x         2019 2   3  N x   x         Câu 2 .   (3,0 điểm)  1 . Cho   3 số   a, b,c   khác 0,   thỏa mãn   a   +   b +   c   = 0.   Chứng minh hằng đẳng thức: 2   2   2  1   1   1   1   1   1  a   b   c   a   b   c                2.   Tính giá trị của biểu thức: B = 2   2   2   2   2   2  1   1   1   1   1   1 1   1   ....   1 1   2   2   3   2018   2019                            Câu 3.   (4,5 điểm)  1.   Cho đa thức f( x ), tìm dư của phép chia f( x ) cho ( x -1)( x +2). Biết rằng f( x ) chia cho   x   - 1 d  x ) chia cho   x   + 2 dư   1.  2 . Giải phương trình: 3   2  3   2   6   0 x   x   x  3.   Tìm nghiệm nguyên của phương trình :   5 x 2   +   y 2   = 17      2 xy  Câu 4.   (3 ,0 điểm)  Cho   a ,   b ,   c   là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :  a) 2  a   b   c b   c   c   a   a   b                 b) 1   1   1 ;   ;  a   b   b   c   c   a          là độ dài 3 cạnh của một tam giác .  Câu 5.   (5 ,0 điểm)  1 . Cho tam giác ABC vuông t  ng cao AH, trung tuy  n AM, phân giác AI. Tính HI, IM; bi  t r  ng AC= 4/3AB và di  n tích tam giác ABC là 24 cm 2  2.   Qua    m O n  m trong tam giác ABC ta v    3    ng th  ng song song v  i 3 c  nh tam giác . Đườ ng th  ng song song v  i c  nh AB c  t c  nh AC, BC l  t t  i E và D;    ng th  ng song song v  i c  nh BC c  t c  nh AB và AC l  t t  i M và N;   ng th  ng song song v  i c  nh AC c  t c  nh AB và BC l  t t  i F và H. Bi  t di  n tích các tam giác ODH, ONE, OMF l  t là   a 2 ,   b 2 ,   c 2 .  a ) Tính di  n tích   S   c  a tam giác ABC theo   a ,   b ,   c  b ) Ch  ng minh   S    3( a 2   +   b 2   + c 2 )  ------------------H  -----------------  Họ và tên học   sinh:.........................................................SBD:............  ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm, học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi   )    NH THỨCSƠ LƯỢC GIẢI     chọn H SG cấp huyện năm học 2018      201 9  Môn : TOÁN   9    1.   Ta có                    A   4   15   10   6   4   15   4   15   4   15   4   15 .   10   6                                    A   4   15.1.   2   5   3   8   2 15.   5   3                        A   5   3 .   5   3         = 5   -   3 = 2   2   2   3   0 x   x        (   1)(   3   0 x   x           1   0 3   0  x x                hoặc 1   0 3   0  x x               3 1  x x           2   3   0   2   3   0 2   3   0  x   x   x x   x                                  (*) 2   2  2   3   2   3   0 x   x   x   x                    3 1  x x          (**)  Từ (*) và (**) ta được 3 x      là điều kiện xác đị nh của M  2.   Ta có: 2 2   2   2  1   1   1   1   1   1   1   1   1 2  a   b   c   a   b   c   ab   bc   bc                                                      2   2   2   2   2   2  1   1   1   1   1   1   2(   ) 2   c   a   b   a   b   c a   b   c   abc   abc   abc   a   b   c   abc                                              2   2   2  1   1   1  a   b   c          Vậy 2   2   2  1   1   1   1   1   1  a   b   c   a   b   c                Theo câu a) Ta có 2   2   2  1   1   1   1   1   1   1   1   1  a   b   c   a   b   c   a   b   a   b                             (*)   p dụng   (*)   ta có: 2   2   2   2   2  1   1   1   1   1   1   1   1   1   1   1 1   1   2   1   1   ( 2)   1   1   ( 2)   1   1   2                                      (Vì 1   1   1   0 1   1   2           )  Tượng tự 2   2  1   1   1   1   1 1   2   3   1   2   3                 ; 2   2  1   1   1   1   1 1   3   4   1   3   4                 ;.... 2   2  1   1   1   1   1 1   2018   2019   1   2018   2019                Suy ra 1   4076360 B   2019   2019   2019          3. 3   2  3   2   6   0 x   x   x 2  (   1)(   4   6)   0 x   x   x

Đề thi HSG huyện Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Thạch Hà – Hà Tĩnh

1  PHÒNG GD&ĐT CON CUÔNG   KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Môn thi: Toán  Th       Câu 1 (5 điểm):   Cho biểu thức A =   1   2   2   5 4 2   2  x   x   x  x x   x                   với x ≥ 0 và x ≠ 4 a)   Rút gọn A. b)   Tính giá trị của A khi x =   4 9   . c)   Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên.  Câu 2   (4điểm):  1.   Giải các phương trình sau: a)   2 4   4   1   2   1 x   x   x           b)   3   4   2   6   5 x   x   x   x                 2.   Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n   3   + 3n 2   + 2018n chia hết cho 6  Câu 3   ( 2,5 điểm):   Cho đường thẳng (d) có phương trình: (m+1)x + (m-2)y = 3   (d)   (m là tham số) a)   Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) b)   Tìm m để (d) cắt 2 trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng   9 2   .  Câu 4   (7,0 điểm):   Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H. a)   Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm. b)   Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng. c)   Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB ở K. Chứng minh diện tích   AMB S      = AK.KB  Câu 5   (1,5 điểm)   Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy. Chứng minh rằng:   2   2 1   1   1 3   1   3   1 x   y            HẾT   Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.  2  PHÒNG GD&ĐT CON CUÔNG   HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019 Môn thi: Toán  Th       Câu   Hướng dẫn giải, đáp án    1 (5 điểm) a) A =   1   2   2   5 4 2   2  x   x   x  x x   x                  (   1)(   2)   2   (   2)   (2   5   ) (   2)(   2) 3   2   2   4   2   5 (   2)(   2) 3   (   2)   3 (   2)(   2)   2  x   x   x   x   x  x   x x   x   x   x   x x   x x   x   x x   x   x                                                             0,5 0,5 1,0 b)   Với x ≥ 0 và x ≠ 4 , tại x =   4 9   ( t/m đk ) 4   2 3   3. 9   3 2 4   2 2   3 9 2   1   3 2   4   4 2 3   3  A                  0,25 0,75 0,5 c)Với x ≥ 0 và x ≠ 4 A nguyên   3 2  x  x        có giá trị nguyên. Mặt khác   3   6 3   3 2   2  x x   x                (vì   6 2 x      > 0 ) Suy ra   0 ≤ A < 3 Vì A nguyên nên A = 0 ; 1 ; 2 A = 0 giải ra ta được x = 0 ( T/m đk ) A= 1 giải ra ta được x = 1 ( T/m đk ) A = 2 giải ra ta được x = 16 ( T/m đk ) Vậy A nguyên thì x    0,25 0,25 0,25 0,75

Đề thi chọn HSG Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Con Cuông – Nghệ An

   Tel: 0905.884.951      0929.484.951  Trường THCS Đào Duy Từ   Năm học 2018      2019 GV: Lê Hồng Quốc   "      "   Trang 1  UBND HUY  N HOÀI NHƠN  PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO        THI H  C SINH GI  I C  P HUY  N  Năm học 2018      2019 Môn: TOÁN 9  Ngày thi: 01/12/2018  Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)  Bài 1.   ( 4.0 điểm )  a)   Thu gọn biểu thức:   2   3   6   8   4  2   3   4  A                       .  b)   Cho   2 1   1 2   1   1   2   1   1  x                . Tính giá trị của biểu thức       2018 2   3   4 1   2 B   x   x   x   x                .  c)   Cho   3   3 3   2   2   3   2   2 x               và   3   3 17   12   2   17   12   2 y               . Tính giá trị của biểu thức:      3   3   3   2018 C   x   y   x   y                .  Bài 2.   ( 4.0 điểm )  a)   Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.  b)   Chứng minh rằng số tự nhiên   1   1   1   1  1.2.3.....2017.2018. 1   ... 2   3   2017   2018  A                                       chia hết cho  2019   .  Bài 3.   ( 5.0 điểm )  3.1.   Cho   ,   , a b c   là các số thực dương thỏa mãn điều kiện                    2   2   2 2   2   2  a   b   c   a   b   b   c   c   a                        a)   Tính   a   b   c       , biết rằng   9 ab   bc   ca          .  b)   Chứng minh rằng: Nếu   , c   a c   b       thì   c   a   b       .  3.2.   Cho ba số dương   ,   , x   y   z   thỏa mãn   2019   2019   2019   3 x   y   z          . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:  2   2   2  E   x   y   z          .  Bài 4.   ( 4.0 điểm ) Cho tam giác đều   ABC   có cạnh bằng   a   . Hai điểm   , M   N   lần lượt di động trên hai đoạn thẳng   , AB   AC   sao cho   1  AM   AN MB   NC        . Đặt   AM   x    và   AN   y    . Chứng minh rằng:  a)   2   2   2  MN   x   y   xy          .  b)   MN   a   x   y          .  c)   MN   luôn tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác   ABC   .  Bài 5.   ( 3.0 điểm ) Cho tam giác   ABC   có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn       O   , gọi   M   là trung điểm của cạnh   BC   ,   H   là trực tâm của tam giác   ABC   và   K   là hình chiếu vuông góc của   A   trên cạnh  BC   . Tính diện tích của tam giác   ABC   , biết   4  KM  OM   HK       và   30 cm. AM     ----------      HẾT      ----------   Tel: 0905.884.951      0929.484.951  Trường THCS Đào Duy Từ   Năm học 2018      2019 GV: Lê Hồng Quốc   "      "   Trang 2  Bài 1.   ( 4.0 điểm )  a)   Thu gọn biểu thức:   2   3   6   8   4  2   3   4  A                       .  Lời giải.  Ta có:       2   3   4   2   2   3   4 2   3   6   8   4   1   2 2   3   4   2   3   4  A                                                .  b)   Cho   2 1   1 2   1   1   2   1   1  x                . Tính giá trị của biểu thức       2018 2   3   4 1   2 B   x   x   x   x                .  Lời giải.  Ta   có:           2   2   2. 1   1   2 2   1   1   2   1   1   2   1   1   2   1   1  x                                  Thay   2 x      vào   biểu thức, ta được:                                2018 2   3   4   2018   2018 1   2   2   2   2   2   1   2   2   2   2   2   4   1   1 B                                                        .  c)   Cho   3   3 3   2   2   3   2   2 x               và   3   3 17   12   2   17   12   2 y               . Tính giá trị của biểu thức:      3   3   3   2018 C   x   y   x   y                .  Lời giải.     Ta có       3 3   3 3   3   2   2   3   2   2   3   2   2   3.   3   2   2   6   3 x   x   x                                 và       3 3   3 3   17   12   2   17   22   2   17   12   2   3.   17   12   2   34   3 y   y   y                                    Cộng vế theo vế, ta được:       3   3   3   3 40   3   3   3   2018   2058 x   y   x   y   x   y   x   y                               .     Vậy   2058 C      khi   3   3 3   2   2   3   2   2 x               và   3   3 17   12   2   17   12   2 y               .  Bài 2.   ( 4.0 điểm )  a)   Tìm các số nguyên dương có hai chữ số, biết số đó là bội của tích hai chữ số của chính số đó.  Lời giải.  Gọi số cần tìm là   ab   , theo đề, ta có   10   . . a   b   k a b       . (Trong đó:   1   ,   9 a b       và   ,   , a b k           ). Suy ra   10   10  .   1   1  b   k a   k a   a           . Vì   10   10   1 1   9   1   9   10. 1   9  b   k   a k   a                             Từ  10   1   10   1   5   5 9   ;2;   ;5;10 1   3   2 10 :  k   a   k   a k   a                                                                                 .     Nếu        1  . 3   5   3 1   5   8 3   3 6 6  a a   k k   k a   b b                                                            (không thỏa) hoặc  3  2  6  a k b                       (thỏa)   36 ab        .

Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Hoài Nhơn – Bình Định

UBND   THANH PH6 THAI   NGUYEN  PHO@T4O   THI   CHQN HQC SINH   GIOI LO?   9  NAU   ng   c   zotr   - zote  MON   THI:   TOAN  DE   THI   CHINH   THTIC   Thdi   gian ldm   bdi:   150   philt,   khdng   ke   thdi gian giao   tt€  (Ed tUi g6m   c6   01   trang)  Bni   1(6   tli6m).  a.   Tinh   gi|tri   cria   bi6u   thric   A = (x4   -   xt   -   x2   +2x-   1)20te   v6i  lt-lt-'  VV2+1-t   r/V2+l+t  b.   Tim m   dA   dudng   thing   !   =2x+   3   vd   ducrng   thang   y   -   (nt'   -2m+2)x   +2m-L  song song   v6i   nhau.  Bhi2   (a   di6m).  a.   Chirng   minh   rdng   v6i   moi   s6 nguyOn   duong n thi   s6   n(n+2)   kh6ng phni   ld   sd  chinh   phucrng.  b.   Giai   phuong   trinh   x   +qJx+3 *2J3-2-y   =tt.  Bni   3   (2 tli6m). Hai   b4n   An   vd   Binh   choi cd   vua   vdi   nhau.   Trong   m5i   v6n,   ngudi   thing  duqc   2-   ditlm,   nguoi   thua duoc   0   di6m vd   n6u hda   thi   m5i   nguoid,rq.   1   die;.   H6i   sai  mQt sd   v6n   thi   d6u,   c6 th6   x6y   ra   trubng   hqp   b4n   An   duoc   tOti6m   vd   b4n   Binh   dugc   15  di6m duoc kh6ng?   T4i   sao?  Bni   4 (a   tli6m).   Cho   ducrng   tron   (O)   duong   kinh AB   vd di6m   M   nim   chinh   gita   cria  cung   ,48. L6y diom   C   nim   trcn   dulng trdn   (o)   sao   cho   C   *   A,C   *   B, AC   <CB   vd hai di6m   M,   C   ndm   vC   hai   ntra mdt   phing   c6   bo   ld duong   thing   AB.   CM   cat   AB   tai   diiim  D.   VC ddy   AE   vu6ng   g6c   CM   tai   F.  a.   Chring   minh   tri gi6c   ACEM   la   hinh   thang   cdn.  b.   Ke   CH   L AB(H      AB).   Chring   minh   CM   ld   ducrng   phdn gi6c   cta   g6c   HCO.  Bei   5   (a   tli6m).  a.   cho   da   thric   P(x)   c6   tinh ch6t   P(*'0")   chia h6t   cho   (r   -   1).   chung   minh   ring P(x)   chia   hCt   cho   (r   -   1).  b.   cho   so   tg nhicn   n=gg.   .   .9.   ri   hiQu   s(n)   vi   s(n2)   tan   tuqr   ld   t6ng   cric   chfi   s6  \---  2019 chit   s6   9  cilr-   n   vd   n2.   Hdy   so   sanh   S(n) vd   S(n2)   .  (rtti   sinh   kh6ng   ttw.oc   srir   dsng;;;;::;;;::;,,   thi   kh6ng   gidi   thich   gi th*m)

Đề thi HSG Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT thành phố Thái Nguyên

PH    GD&ĐT   B    XUY  N     CHÍNH THỨC  KÌ   THI CHỌN   HỌC SINH GIỎI   LỚP 9 NĂM HỌC 2018- 2019     TOÁN  Thời gian làm bài:   150   phút (không kể thời gian giao đề)  Câu 1   ( 1,0 điểm ) .  Tìm các số tự nhiên có dạng   ab   , b iết rằng   (   )   (   )  2   2  ab   ba    là số chia hết cho   3267   .  Câu 2   ( 1,0 điểm ) .  Cho   p là một số nguyên tố thỏa mãn   3   3  p   a   b =      ( với   , a b   là hai số nguyên dương phân biệt ).  Chứng minh rằng nếu lấy   4   p   chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được một số là bình phương của một số nguyên lẻ.  Câu 3   ( 1,0 điểm ) .  Cho   x   4   10   2   5   4   10   2   5 =      +   +   +   +   .   Chứng minh rằng   x   5   1 =   +   . T       tính giá trị biểu thức   (   ) 2 2   2 2 x   2x   4x   8x   2018 A=   x   2x   3        +   +      Câu 4   ( 1,0 điểm .  Cho biểu thức   5   7   11   x   13   6   x   5  B=   :  x   1   2   x   3   2x   x   3   7 x   7   x      +    +               +   +           , với   25 x   0; x   ; x   1 36  >         .  Rút   gọn biểu thức   B   và tìm số thực   x      thức   B   nhận giá trị nguyên.  Câu 5   ( 1,0 điểm ) .  Giải phương trình   7 x   7 x   25   5 7 x   16   =   +    +   .  Câu 6   ( 1,0 điểm ) .  Cho ba số dương   x, y, z   thỏa mãn   x   y   z   1 +   +   =   . Chứng minh bất đẳng thức sau:  xy   yz   zx   3 xy   z   yz   x   zx   y   2  +   +    +   +   +   .  Câu 7   ( 1,0 điểm ) .  Cho hình thoi   ABCD   có góc A nhọn ,   gọi   O   là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ   OH   v uông góc   với đường thẳng   AB   tại   H . Trên tia đối của tia   BC   lấy điểm   M   (    M   không trùng với điểm  B) , trên tia đối của tia   DC   lấy điểm   N   sao cho đường thẳng   HM   song song với đường thẳng   AN .  Chứng minh rằng   MOB   OND    #   .  Câu 8   ( 1,0 điểm ) .  Cho tam giác nhọn   ABC   có đường cao   AD   và trực tâm   H .   Lấy điểm   M   trên đoạn   AD   sao cho     0 BMC   90 =   .   Chứng minh rằng   MBC   ABC   HBC S   S   .S =   .  Câu   9   ( 1,0 điểm ) .  T    gi    trị   c    biểu   thức   2   2   2   2  C   sin 1   sin 2   sin 3   ...   sin 89 =            +      .  Câu 10   ( 1,0 điểm ) .  Từ 625 số tự nhiên liên tiếp   1, 2,3,..., 625   , c họn ra   311   số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong   311   số    phương.  ----------- Hết -----------  Thí sinh không được sử dụng   t    v  Họ và tên thí sinh:........................................................... Số báo danh:................... ..............HDC_HSG Toán 9   Trang 1/5  PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN   KÌ THI CH   C SINH GI  I L  P 9 NĂM H  C 2018-2019  HƯỚ NG D    TOÁN  ( Hư  ng d  n ch  m g  m 0 5   trang)  I) Hướ ng d   1) Hướ ng d  n ch  m ch    nêu m  t cách gi  i v  i nh  n, n    không theo cách  nêu trong hướ ng d  n ch    s     m t  ng ph  nh. 2) Vi  c chi ti  m (n  ng d  n ch  m ph  o không làm sai l  ch  hướ ng d  n ch  m và ph  c th  ng nh  t th  c hi  n v  i t  t c    giám kh  o.  3) Điểm toàn bài tính đế n   0,25    m. Sau khi c    gi    nguyên k  t qu  . 4) V  c n  u h  c sinh   không v    hình   ph    không   cho điể m ph   II) Đáp án và thang điểm:  Câu 1   (1,0 điể m) .   Tìm các s    t    nhiên có d  ng   ab   , bi  t r  ng   (   )   (   )  2   2  ab   ba    là s    chia h  t cho   3267   .  N  i dung trình bày     m  (   )   (   )  2   2   2   2   2   2 (10a   )   (10   )   99(   ) ab   ba   b   b   a   a   b    =   +      +   =      0,25  (   )   (   )  2   2  ab   ba    chia h  t cho   3267   33.99 =   nên   2   2   (   )(   ) a   b   a   b   a   b    =      +   chia h  t cho 33   0,25  T    1   9, 1   9 a   b             và   (   )(   ) 33 a   b   a   b    +      suy ra   a   b =   ho    (   )   (   ) ;   7; 4 a b   =   ho    (   )   (   ) ;   4;7 a b   =   0,25  T       tìm đư     11; 22;33; 44; 47;55;66;74;77;88;99   th    0,25  Câu 2   (1,0 điể m) .   Cho p là m  t s    nguyên t    th  a mãn   3   3  p   a   b =      (v  i   , a b   là hai s    nguyên dương  phân bi  t). Ch  ng minh r  ng n  u l  y   4   p   chia cho 3 và lo  i b    ph  c m  t s    là bình  phương củ a m  t s    nguyên l  .  N  i dung trình bày     m  Ta có   3   3   2   2 (   )(   ) p   a   b   a   b   a   ab   b =      =      +   +   là s   Mà   , a b   là các s    nguyên dương phân biệ t nên tích   2   2 (   )(   ) a   b   a   ab   b    +   +   là s    nguyên t   khi và ch    1 a   b    =   và   2   2  a   ab   b +   +   là s   0,25 1 a   b    =   +   3   3   2 (   1)   3   3   1 p   b   b   b   b    =   +      =   +   +   0,25  (   ) 2   2 4   12   12   4   3 4   4   1   1   1(   3) p   b   b   b   b   mod    =   +   +   =   +   +   +      0,25  N  u l  y   4   p   chia 3 và lo  i b    ph  c s    (   ) 2 2 4   4   1   2   1 A   b   b   b =   +   +   =   +   hi  n nhiên là s    chính phương   (đpcm).   0,25  Câu 3 (1 ,0 điể m) .   Cho   x   4   10   2   5   4   10   2   5 =      +   +   +   +   . Ch  ng minh r  ng   x   5   1 =   +   . T       bi  u th  c   (   ) 2 2   2 2 x   2x   4x   8x   2018 A=   x   2x   3        +   +      N  i dung trình bày     m  (   ) 2 2   2 x   4   10   2   5   4   10   2   5   x   8   2   4   10   2   5 =      +   +   +   +      =   +      +   0,25

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 9 THCS năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hải Dương

S    GIÁO D  C VÀ ĐÀO T  O  THÁI BÌNH           THI CH  N H  C SINH GI   P 9 THCS NĂM H     Môn:   TOÁN  Th    (không k    th  i gian giao đ  )  Câu 1.   (3,0 điể m)  Cho bi  u th  c   1   1 1 : 1 1   1   1   1         +   + +   + =   +   +                     +         +         xy   x   xy   x x   x P   xy   xy   xy   xy v  i   ;   0  x y   và   1.  xy a. Rút g  n   P   . b. Tính giá tr    c  a bi  u th  c   P   khi   3   3 4   2   6   4   2   6 =      +   + x   và   2   6 =   + y   x   .  Câu 2.   (3,0 điể m)  Trong m  t ph  ng v  i h    tr  c t    Ox y, cho đườ ng th  ng (d):   (   )    3    +   = m   x   y   m và (d’):   (   )  +   = x   m   y   m   . Tìm m để   (d ) c  t (d’) t  m M sao cho      0 30 = MOx   .  Câu 3.   (4,0 điể m)  a. Gi    2 3   1   6   3   14   8   0 +         +         = x   x   x   x  b. Gi  i h    phương trình:  3   2   2 2 2   2   2   4   0 4   1   3   7        +   +   +      =              =      +    x   x   x   y   x y x   xy   x   x   y  Câu 4.   (2,0 điể m)  Ch  ng minh r  ng n    dài ba c  nh c  a m  t tam giác có chu vi b  ng 3 thì 2   2   2 3   3   3   4   13 +   +   +    a   b   c   abc   .  Câu 5.   (3,0 điể m)  Cho tam giác ABC có ba góc nh  n, v    các đườ ng cao BE và AD. G  i H là tr  c tâm và G là tr  ng tâm tam giác ABC. a. Ch  ng minh: n  u HG//BC thì   tan   .tan   3. = B   C b. Ch  ng minh:   tan   .tan   .tan   tan   tan   tan =   +   + A   B   C   A   B   C   .  Câu 6.   (3,0 điể m)  Cho tam giác ABC vuông t  ng cao AH, g  i I, J, K l  ng tròn n  i ti  p các tam giác ABC, ABH, ACH. G  m c  ng th  ng AJ, AK v  i c  nh BC l  t là E và F. a. Ch  ng tròn ngo  i ti  p tam giác AEF. b. Ch  ng tròn ngo  i ti  ng tròn n  i ti  p tam giác ABC có bán kính b  ng nhau.  Câu 7.   (2,0 điể m)  Tìm t  t c    các b    s    nguyên dương   (   ) ;   ; x y z   sao cho   2019 2019  + +  x   y y   z   là s    h  u t    và   2   2   2  +   + x   y   z là s    nguyên t  .     H  T     H    và tên thí sinh: ...................................................................   S    báo danh: ..................S    GIÁO D  C VÀ ĐÀO T  O  THÁI BÌNH           THI CH  N H  C SINH GI   P 9 THCS NĂM H     HƯỚNG DẪN CHẤM, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN  (G  m 05 trang) Câu      N      1.  3,0đ  Cho bi  u th  c   1   1 1 : 1 1   1   1   1         +   + +   + =   +   +                     +         +         xy   x   xy   x x   x P   xy   xy   xy   xy v  i   ;   0  x y   và   1  xy a. Rút g  n   P   . b. Tính giá tr    c  a bi  u th  c   P   khi   3   3 4   2   6   4   2   6 =      +   + x   và   2   6 =   + y   x   . a.  1,5đ  1   1 1 : 1 1   1   1   1         +   + +   + =   +   +                     +         +         xy   x   xy   x x   x P   xy   xy   xy   xy  (   ) (   )   (   ) (   )  (   ) (   )   (   ) (   ) 1   1   1   1   : 1 1   1   1   1 1  +      +   +   +   +    =          +   +      +      x   xy   xy   x   xy   xy xy xy   xy   x   xy   x   xy xy 0,5  (   ) (   )   (   ) (   )  (   ) (   )   (   ) (   ) 1   1   1   1 1   1   1   1  +      +   +   +   +    =      +   +   +   +   +     x   xy   xy   x   xy   xy xy   xy   x   xy   x   xy   0,5  (   )  (   ) 2   1   1 2  + =   = +  x xy xy   x   y V  y v  i   ;   0  x y   và   1  xy   thì   1  = P   xy   . 0,5 b.  1,5đ  Ta có:   (   ) 3 3   3   3 4   2   6   4   2   6 =      +   + x  (   ) (   ) 3   3   3   3 8   3   4   2   6   4   2   6   4   2   6 .   4   2   6   8   6 =   +      +   +      +   =      x 0,5  (   ) 3   2 6   8   6   8   8    +   =      +   =      = x   x   x x   xy   th  u ki  nh   0,5 Thay vào ta có   2 4  = P   . V  y   2 4  = P   .   0,5  2  3,0đ  Cho hai đư  ng th  ng (d):   (   )    3    +   = m   x   y   m   ,  (d’):   (   )  +   = x   m   y   m   . Tìm m để   d c  t d’ t  m M sao cho      0 30 = MOx   . T  a đ    giao đi         phương trình:  (   ) (   )   ( )   (   ) (   )   (   )   ( )  2 1 *   2    3       2 1   1     =                    +   = +   =   =             x   m   m   y m m m   x   y   m m   m x   y   m   y   0,5          h        ( ) 1   có nghi  m duy nh  t   0 2          m m   0,5

Đề thi chọn HSG Toán 9 THCS năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Thái Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI    (Đề thi gồm 01 trang)  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi :   TOÁN  Thời gian : 150 phút   (không kể thời gian phát đề)  Ngày thi: 07/03/2019 Câu 1   (3,0 điểm).  Từ các chữ số   0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9.   Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019.  Câu 2   (5,0 điểm).  1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên   n , số   3 3   15 A   n   n       chia hết cho 18. 2) Một đoàn học sinh đi tham quan quảng trường Đại Đoàn Kết tỉnh Gia Lai. Nếu mỗi ô tô chở 12 người thì thừa 1 người. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô? Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 người.  Câu 3   (6,0 điểm).  1) Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là   20cm   và   1cm   . Người ta xếp cây nến trên vào trong một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Tính thể tích cái hộp. 2) Cho đường tròn       ; O R   và điểm   I   cố định nằm bên trong đường tròn (   I   khác   O   ), qua    I   dựng hai dây cung bất kỳ   AB   và   CD   . Gọi   ,   ,   , M N P Q   lần lượt là trung điểm của ,   ,   , IA IB   IC   ID   . a) Chứng minh rằng bốn điểm   ,   ,   , M P N   Q   cùng thuộc một đường tròn. b) Giả sử các dây cung   AB   và   CD   thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau tại   I   . Xác định vị trí các dây cung   AB   và   CD   sao cho tứ giác   MPNQ   có diện tích lớn nhất.  Câu 4   (4,0 điểm).  1) Giải hệ phương trình sau       2 4   2   3 1   4   2   5   2   (   1)   5 5   (   )   10  x   y   y   x x   x   y   x   y   y                                            2) Cho   ,   , x y z   là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện   2   2   2   2   1. x   y   z   xyz             Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   2   . P   xy   yz   zx   xyz            Câu 5   (2,0 điểm).  Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh, đoàn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi. Mỗi thí sinh có số báo danh là một số tự nhiên trong khoảng từ 1 đến 907. Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh trong đoàn có tổng các số báo danh chia hết cho 9.  --------------------------Hết-------------------------- Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.  - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:   ...................................................... ; Số báo danh:   ............. ; Phòng thi số: ..........1  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI  (Hướng dẫn chấm có 04 trang)  KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi :   TOÁN  Ngày thi: 07/03/2019  MÔN: TOÁN Câu          1 (3,0đ)  Gọi số cần lập có dạng   2019 abcd     Trường hợp 1.   2 a     Có 7 cách chọn   a   .       3, 4,5, 6, 7,8,9 a      . Có 9 cách chọn   b   ( Trừ chữ số đã chọn cho   a   ) Có 8 cách chọn c ( Trừ các chữ số đã chọn cho   , a b   ) Có 7 cách chọn   d   ( Trừ các chữ số đã chọn cho   ,   , a b c   ) Trường hợp này có   7.9.8.7   3528    ( số) 1,25  Trường hợp 2.   2,   0 a   b      Có 8 cách chọn   b Có 8 cách chọn   c Có 7 cách chọn   d Trường hợp này có   8.8.7   448    (số ) 0,75  Trường hợp 3.   2,   0,   1 a   b   c        Có 7 cách chọn   c Có   7   cách chọn   d Trường hợp này có   7.7   49    (số) 0,5  Như vậy, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là 3528   448   49   4025          ( số)   0,5  2 (5,0đ)    (2,0)  Ta có:             3   3 3   15   3   6   3 (   1) (   1)   6 A   n   n   n   n   n   n   n n   n                            1,0 Với mọi số nguyên   n ,   (   1) (   1)   6 n   n n   n          chia hết cho 6   0,5  Vậy       3 (   1) (   1)   6 A   n   n n   n             chia hết cho 18   0,5    (3,0)  Gọi số ô tô lúc đầu là   x   với   ;   2 x   x       Số học sinh đi tham quan là   12   1 x    0,5 Theo giả thiết nếu số xe là   x – 1   thì số học sinh của đoàn được chia đều cho tất cả các xe. Khi đó mỗi xe chở được y học sinh với   ; 0   16 y   y          Ta có:       1   12   1 x   y   x        0,5  12   1   13 12 1   1  x y   x   x                   0,5  Vì   , x y         nên   1 x                1;13    0,5

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Gia Lai

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG   KỲ   THI   CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP   9 CẤP HUYỆN  NĂM HỌC   2018-2019    Thời gian làm bài: 1 5 0 phút (không kể thời gian giao đề)    01 trang  Chú ý:   Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.  Câu 1.   ( 3,0      Cho biểu thức:   P   =   x x x x x x   + + + +  +  4 5 2 2 2 2 1   . Tìm   x      P   có giá trị bằng 2.  Câu 2.   ( 2,0      Chứng minh rằng nếu   a ,   b ,   c   là các số thực thỏa mãn:   1   1   1   2  a   b   c  +   +   =   và  a   +   b   +   c   =   abc   thì:   2   2   2 1   1   1   2  a   b   c  +   +   =   .  Câu 3.   (2 ,0      Tính   tổng:   2   2   2   2   2   2 1   1   1   1   1   1 1   1   .......   1 1   2   2   3   2018   2019  S   =   +   +   +   +   +   +   +   +   +  Câu 4 .   ( 2,0      Gi    2   12   1   36 x   x   x +   +   +   =  Câu 5 .   (1 ,0      Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương   n   thì:  2   2 3   2   3   2 n   n   n   n +   +    +      10   Câu 6 .   (2 ,0      Giải phương trình nghiệm nguyên:  2   2017   2018   2019   0 x   xy   x   y +            =  Câu 7 .   (1 ,0      Cho   m ,   n   là các số tự nhiên và   p   là số nguyên tố thoả mãn:  1  m p   =   p n m   +   .   Chứng minh rằng khi đó   n   + 2 là   một số chính phương .  Câu 8 .   ( 2,0      Cho các số thực dương   a, b, c   thỏa mãn   2   1   1  b   a   c  =   +   .   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:   2   2  a   b   c   b  P   a   b   c   b  +   + =   +      Câu 9 .   ( 3,0      Cho hình vuông   ABCD   có   AC   cắt   BD   tại   O .   Goïi   M   là điểm bất kỳ thuộc cạnh   BC   ( M   khác   B ,   C ). Tia   AM   cắt đường thẳng   CD   tại   N .   Trên cạnh   AB   lấy điểm   E   sao cho   BE   =   CM .  a) Chứng minh   rằng:      OEM   vuông cân.  b) Chứng minh:   ME   song song với   BN .  c) Từ   C   kẻ   CH   vuông góc với   BN   tại   H . Chứng minh ba điểm   O ,   M ,   H   thẳng hàng.  Câu 10.   ( 2,0      Cần dùng ít nhất bao nhiêu tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín một tam giác đều có cạnh bằng 3, với giả thiết không được cắt các tấm bìa?  ====   HẾT   ====  Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!  Họ tên thí sinh.........................................................SBD:....................... P hòng thi................  PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG   HƯỚNG DẪN CHẤM   THI   CHỌN HSG   LỚP 9  Năm học : 2018 – 201 9  Môn Toán  Hướng dẫn chung:  - Học   sinh giải theo cách khác mà      giám khảo vẫn cho điểm tối đa.  - Các câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó.  Câu   Nội dung     1  Biểu thức có nghĩa khi x   4 ; 0       x  P =   x x x x x x   + + + +  +  4 5 2 2 2 2 1   =  (   ) (   ) 1   2   2   5 2   2   2   2  x   x   x x   x   x   x  +   + +       +   +     (   ) (   )  (   ) (   )  (   )  (   ) (   )   (   ) (   ) 1   2   2   2   2   5 2   2   2   2   2   2  x   x   x   x   x x   x   x   x   x   x  +   +      + =   +    +      +      +     (   ) (   ) 3   2   2   4   2   5 2   2  x   x   x   x   x x   x  +   +   +          =   +     (   ) (   ) 3   6 2   2  x   x x   x   =   +     (   )  (   ) (   ) 3   2 2   2  x   x x   x   =   +    3 2  x x  =   +  Do đó:   P= 2      3   2   3   2   4   4   16 2  x   x   x   x   x x   =      =   +      =      = +   (t/m)  0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 1  2  Từ   1   1   1   2  a   b   c  +   +   =    2 1   1   1   4  a   b   c      +   +   =             2   2   2 1   1   1   1   1   1 2   4  a   b   c   ab   bc   ca      +   +   +   +   +   =             2   2   2 1   1   1   2   4  a   b   c a   b   c   abc  +   +     +   +   +   =           (*)  mà a + b + c = abc     1  a   b   c abc  +   +   =  Nên từ (*)      2   2   2 1   1   1   2   4  a   b   c  +   +   +   =     2   2   2 1   1   1   2  a   b   c  +   +   = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5  3   Với      n      N   *   ta có:   (   )  (   )   (   ) (   )  2   2 2   2 2   2 2   2 1   1 1   1 1   1   1  n   n   n   n n   n   n   n  +   +   +   + +   +   = +   +   0,25 0,25

Đề thi HSG huyện Toán 9 năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh Phúc

UBND HUYỆN YÊN LẠC  PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO    NĂM HỌC 2018-2019  MÔN: TOÁN  ( Th  i gian : 150 phút không k    th  i gian giao đ  )  Bài 1 (1.0 điểm).   Cho các số thực x, y thoả mãn:          2   2  2018   2018   2018 x   x   y   y                . Chứng minh rằng tích   xy   là một số không dương.  Bài 2 (1.0 điểm).   So sánh   11   96 B         và   2   2  1   2   3  C           Bài 3 (1.0 điểm).   Chứng minh rằng biểu thức   3   3  17   5   38   17   5   38 D               là một số  chính phương.  Bài 4   (1.0 điểm).   Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường trung tuyến AD và BE  vuông góc với nhau tại G. Biết   6 AB      cm, tính cạnh huyền BC.  Bài 5   (1.0 điểm).   Cho   2   2  2   2  a   b   a   b  x   a   b   a   b                      , tính giá trị của biểu thức   2  E   bx   ax   b         Bài 6   (1.0 điểm).   Giải phương trình nghiệm nguyên:   2   2   2   2  8   10 x y   x   y   xy         Bài 7   (1.0 điểm).   Tổng của n số nguyên dương không nhất thiết phân biệt là 100.  Tổng của 7 số trong số chúng nhỏ hơn 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của n?  Bài 8   (1.0 điểm).   Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB=c. CMR:   sin   2  A   a  b   c       Bài 9   (1.0 điểm)   Giải phương trình   2  3   2   3   6   4 x   x   x   x            Bài 10   (1.0 điểm).   Cho   , ,   0;   2 a b c   abc       . Chứng minh rằng:  3   3   3  a   b   c   a   b   c   b   c   a   c   a   b                        ------------------------ Hết ------------------------  (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)  Họ và tên thí sinh:...................................................Số báo danh:...........  UBND HUYỆN YÊN LẠC  PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC  HDC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN  NĂM HỌC 2018-2019  MÔN: TOÁN 9  Bài   N       Bài  1  2đ  Nhận xét  .  Suy ra   1,0  Tương tự ta có  Suy ra   1,0  Bài  2  2đ  Ta có   =   0,75  0,75  Xét hiệu  . Vậy B > C  0,5  Bài  3  2đ  Ta có   0,75  0,75  Do đó D=4  V       0,5  Bài  4  2đ  G  E  D   C  B  A  Ta có  Suy ra BG=2 cm, EG= 1 cm  1,0  Mà   cm.   1,0  Bài  5  2đ  Ta có   và   0,75  Do đó   0,75

Đề HSG Toán 9 cấp huyện năm 2018 – 2019 phòng GD&ĐT Yên Lạc – Vĩnh Phúc

Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đồng Tháp

SỞ   GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO   KÌ   THI   CHỌN   HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS  QUẢNG TRỊ   Khóa ngày 19 tháng 3 năm 2019  M  N:   TOÁN  Thời gian làm bài :   150 phút , k hông kể thời gian giao      Bài 1 .   ( 4 ,0 điểm )  Cho 4   10   2   5   4   10   2   5 a   =   +   +   +      +   .  a)   Chứng minh a   là nghiệm phương trình 2   2   4   0. a   a       =  b)   Tính giá trị của biểu thức 4   3   2 2  4   6   4 . 2   12  a   a   a   a T   a   a     +   +   + =      +  Bài   2 .   ( 4 ,0 điểm )  1. Giải hệ phương trình 3   3  .  8 2   2  x + y = x+ y+   xy =      2.   Giải phương trình (   )(   )(   ) (   )(   )  2  1   2   3   4   5   360. x   x   x   x   x +   +   +   +   +   =  Bài 3 .   ( 4 ,0 điểm )  1.   Cho , , a b c   là các s    th  c b  t kì.   Ch  ng minh 2   2   2   . a   b   c   ab   bc   ca +   +      +   +  2.   Cho , , a b c   là các s    th  c   th  a mãn: 1,   1,   1 a   b   c          và 9. ab   bc   ca +   +   =  Tìm giá tr    nh    nh  t và giá tr    l  n nh  t c  a bi  u th  c 2   2   2 . P   a   b   c =   +   +  Bài 4 .   ( 6 ,0 điể m )  Cho tam giác ABC   vuông tại A (   ); AC   AB    gọi H   là hình chiếu của A   trên , BC D  là điểm   nằm trên đoạn thẳng AH (   ,   ) D   A D   H       . Đường thẳng BD   cắt đường tròn  tâm C   bán kính CA   tại E   và F   ( F   nằm giữa B   và D   ); M   là điểm trên đoạn thẳng AB  sao cho 2 ACF   BFM =   ; MF   cắt AH   tại . N  a)   Chứng minh .   . BH BC   BE BF =   và tứ giác EFHC   nội tiếp đường tròn.  b)   Chứng minh HD   là phân giác góc . EHF  c)   Chứng minh F   là trung điểm . MN  Bài 5 .   ( 2 ,0 điểm )  Cho các số nguyên , , a b c   thỏa mãn 2   2 2   2   2   2  2 a   c   c a   b   a   c   b   c  +   = +   +   +   . Chứng minh bc   là  một số chính phương.  ---------------------- HẾT --------------------      CHÍNH THỨC

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 THCS năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Quảng Trị

STAR-EDUCATION   16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ  Khóa thi ngày 13/3/2019 Môn thi: TOÁN   Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề   Bài 1.   (4 điểm) Cho   x, y   là các số thực sao cho   2  x      1  y   =   1 2 x   +   y   . Tính giá trị của biểu thức   x 2  y 2   +   y 2  x 2   .  Bài 2.   (3 điểm) Cho   a, b, c   là ba số thực sao cho   a   +   b   =   c      2   và   ab   = 2 c 2      3 c   + 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức   P   =   a 2   +   b 2  Bài 3.   (3 điểm) An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa. Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn. Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm   C   rồi gặp Bình ở địa điểm  D . Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn - Biên Hòa dài   39   km  CD   = 6   km; Vận tốc của An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng   3 4   vận tốc của Cường.  Bài 4.   (6 điểm) Cho   4 ABC   cân tại   A , nội tiếp đường tròn   ( O ) . Từ   B   kẻ đường thẳng vuông góc với  OC , đường thẳng này cắt   AC   tại   D   và cắt   ( O )   tại   E   ( E   khác   B ). Cho biết   AB   = 8 cm và   BC   = 4   cm, tính độ dài các đoạn thẳng   DE, OA   và   OD .  Bài 5.   (4 điểm) Hộp phô mai có dạng hình trụ, đường kính đáy 12,2 cm và chiều cao 2,4 cm. a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp sát bên trong hộp và độ dày của giấy gói từng miếng không đáng kể. Hỏi thể tích của một miếng phô mai là bao nhiêu? b) Tính diện tích giấy gói được sử dụng cho một miếng phô mai. (Ghi kết quả gần đúng chính xác đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy)    www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730   STAR TEAMSTAR-EDUCATION   16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10  STAR-EDUCATION   KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ  Khóa thi ngày 13/3/2019 Môn thi: TOÁN  LỜI GIẢI   trẻ ở trung tâm “ Star Education”.  Bài 1.      xy   6   = 0;   y   6   =    2 x . Từ giả thiết:   2  x      1  y   =   1 2 x   +   y      2 y      x xy   =   1 2 x   +   y      (2 y      x )(2 x   +   y ) =   xy     4 xy   + 2 y 2      2 x 2      xy   =   xy      2 xy   + 2 y 2      2 x 2   = 0      xy   +   y 2      x 2   = 0(  ) . Vì   xy   6   = 0   nên chia phương trình   (  )   cho   xy , ta được:   1 +   y x      x y   = 0     x y      y x   = 1     (   x y      y x  ) 2  = 1      x 2  y 2   +   y 2  x 2      2 = 1      x 2  y 2   +   y 2  x 2   = 3  Bài 2.   Ta có:   P   =   a 2   +   b 2   = ( a   +   b ) 2      2 ab . Dùng phương pháp thế, ta được:  P   = ( c      2) 2      2(2 c 2      3 c   + 1) =   c 2      4 c   + 4      4 c 2   + 6 c      2 =    3 c 2   + 2 c   + 2 =    3  (  c 2      2 3   c      2 3  )  =    3  (  c 2      2      c      1 3 + 1 9      7 9  )  =    3  (  c      1 3  ) 2  + 7 3      7 3 . Vậy giá trị lớn nhất của   P   là   7 3   . Dấu      xảy ra      c   = 1 3           a   +   b   =    5 3  ab   = 2 9  Hay   a, b   là nghiệm của phương trình   X 2      SX   +   P   = 0      X 2   + 5 3   X   + 2 9 = 0          a   =    5 +    17 6  b   =    5    17 6  hoặc        a   =    5    17 6  b   =    5 +    17 6  Bài 3.   5 phút =   1 12   giờ. Gọi   v A , v B   , v C   ( v A , v B   , v C   >   0)   lần lượt là vận tốc của An, Bình và Cường.          v B   = 2 v A  3  v C   = 4 v A  3     s ( s >   0)   là quãng đường mà An đã đi được khi gặp Cường. Kết hợp với   CD   = 6 km   ta suy ra quãng đường mà An đã đi được khi gặp Bình là   39      ( s   + 6) = 33      s . Theo đề, ta có hệ phương trình:               s v A     39      s  4 v A  3 =   1 12  s   + 6  v A     33      s  2 v A  3 =   1 12          s v A     117      3 s  4 v A  =   1 12  s   + 6  v A     99      3 s  2 v A  =   1 12  www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730   STAR TEAM

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT TP HCM

G G GV V V: : : N N Ng g gu u uy y y    n n n D D D      n n ng g g   Hả Hả Hả i ii –   T TH H HC C CS S S N N Ng g gu u uy y y    n n n C C Ch h hí  T Th h ha a an n nh h h –   B BM M MT T T –          k k k L L L    k k k ( ( (S S S    u u u t tt    m m m và và và g g gi ii    i ii t tth h hi ii    u u u) ) )   t ttr r ra a an n ng g g   1 1 1  S          CHÍNH TH   K    THI H   NĂM HỌC 20 18 – 2019 MÔN THI: TOÁN 9 – THCS  Th     Ngày thi: 10/4/2019  Bài 1: (4     1) Rút g          3  3   2   3   33   12   5   37   30   3 A                  . 2) Gi    h     6   12   8 2   1   2  x   x   x   x   y   y  x   x   y                             Bài 2 : (4 điểm)  1) Cho   phương tr    2   4   2   2   5 x   x   x   m                (v    m   là tham s  ). Tìm t   m để phương tr         nghi    phân bi   2) Trong m  , m    d   có h    k     M(0; 3) và c    parabol         2  : P   y   x    t    G     góc c    . Vi      h   di   Bài 3: (4     1) Tìm t    các c    s         ; x y   th     2   2  2   2   6   4   20 x   y   xy   x   y               2) Tìm t    s     ch   Bài 4 : (4 điểm)   Cho       là ti      tia AO và AB; D, E      (O). Đường thẳng qua D v     BE c    Q. 1) G    BC v    Ch    OEDH là t    n   2) G    E. Ch    Bài 5 : (2 điểm)   Cho hình vuông ABCD. Trên các c   N (M không trùng v          0  45 MAN      . Ch   minh r    AMN thành hai ph   Bài 6 : (2 điểm)   Cho   ,   , a b c là các s    3 a   b   c          . Ch   2   2   2  1   1   1   3 1   1   1  a   b   c b   c   a                          --------------------   H    --------------------G G GV V V: : : N N Ng g gu u uy y y    n n n D D D      n n ng g g   Hả Hả Hả i ii –   T TH H HC C CS S S N N Ng g gu u uy y y    n n n C C Ch h hí  T Th h ha a an n nh h h –   B BM M MT T T –          k k k L L L    k k k ( ( (S S S    u u u t tt    m m m và và và g g gi ii    i ii t tth h hi ii    u u u) ) )   t ttr r ra a an n ng g g   2 2 2  BÀI GI   Bài 1: (4 điểm)  1) Ta có                   3  3   3 3   2   3   33   12   5   37   30   3   3   2   3   33   12   5   1   2   3 A                                                       2  3   2   3   33   12   4   2   3   3   2   3   33   12   1   3   3   2   3   21   12   3                                                     2  3   2   3   3   2   3   3   2   3   2   3   3   12   9   3                           2) (ĐK:   0, y   0 x         )             3   3  2 6   12   8   2   2 2   1   2   2   1   2   2   1   2   4 2   1   2  x   y x   x   x   x   y   y   x   y   x   y x   x   y   x   x   y   x   x   x x   x   y                                                                                                                         2 2   1   0 2   2 1   3   0 2   1   2   4   4   3   0   2 3   0  x   y  x   y   x x   y   x   y x   x x   x   x   x   x   x   y x                                                                                                                                                   1 1   9 1 1 3  y   vo ly x   x   tm y y x                                              . V     9  1  x y          Bài 2: (4 điểm)  1) Ta có     2 2   4   2   2   5   2   2   2   1   0   * x   x   x   m   x   x   m                                           2   0 t   x   t          . Khi đó (*) trở th        2   2   1   0   ** t   t   m            Do đó (*) có bốn nghiệm phân biệt      (**) có hai nghi       0   1   1   0   0 0   1   0   1   0 1 0   2   0  t t t  m   m P   m   m m S                                                                    2) Vì      d   có h    k          d  có d    3 y   kx     Phương   trình hoành    d ) và ( P ) là:       2   2  3   3   0   * x   kx   x   kx                  Vì   3   0 ac         , nên (*) luôn có hai nghi   Vì ( d ) c  P ) t     Theo Vi ét ta có:   3  A   B A   B  x   x   k  x x             . L                          2   2  ;   ,   ;   ,   ; 0 ,   ; 0 A   A   B   B   A   B A x   x   B x   x   C   x   D x  Do đó                                2 2   2   2 20   2   2   2  A   B   A   B   A   B ABDC   A   B   A   B  x   x   x   x   x x AC   BD CD S   x   x   x   x                                    A   B t   x   x       , ta có:                      2 2 3   2 2   3 20   6   40   0   4   4   10   0   4   2   6   0   4 2  t   t   t   t   t   t   t   t   t   t                                                                      .

Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 THCS năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Đăk Lăk

   Tel: 0905.884.951      0929.484.951 Trường THCS Đào Duy Từ   Năm học 2018      2019 GV: Lê Hồng Quốc   " Cần cù bù thông minh "   Trang 1  SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  BÌNH ĐỊNH    Năm học: 2018      2019 Môn: TOÁN 9      Ngày thi: 18/03/2019  Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)  Bài 1.   ( 5.0 điểm )  1)   Tính giá trị biểu thức:       3   3   3 A   x   y   x   y             , biết rằng:  3   3 3   2   2   3   2   2 x               và   3   3 17   12   2   17   12   2 y               .  2)   Cho hai số thực   , m   n   khác   0   thỏa mãn:   1   1   1   .  2 m   n        Chứng minh rằng phương trình:          2   2   0 x   mx   n   x   nx   m                luôn có nghiệm.  Bài 2.   ( 5.0 điểm )  1)   Giải hệ phương trình:  2 3 1   . 4   5  x   xy   y x   y   x                            2)   Tìm nghiệm nguyên của phương trình:   2   2   2 2   1   2   . xy   x   y   x   y   xy                  Bài 3.   ( 3.0 điểm )  1)   Trong mặt phẳng cho   8073    cho không lớn hơn   1.   Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được   2019    nằm trong hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn   1.  2)   Cho   ,   , a   b   c   là các số thực không âm thỏa mãn:   3. a   b   c          Chứng minh rằng:  3   3   3 1   1   1   5. a   b   b   c   c   a                  Bài 4.   ( 7.0 điểm )  1.   Cho tam giác nhọn   ABC   vuông cân tại   . A   Gọi   D   là trung điểm của cạnh   BC   . Lấy điểm   M bất kỳ trên đoạn   AD   (   M   không trùng với   A   ). Gọi   , N   P   theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của   M   trên các cạnh   , AB   AC   và   H   là hình chiếu vuông góc của   N   lên đường thẳng   . PD  a)   Chứng minh rằng:   . AH   BH   b)      B   song song với   AD   cắt đường trung trực của   AB   tại   I   . Chứng minh ba điểm   ,   , H   N   I   thẳng hàng.  2.   Cho tam giác   ABC   nội tiếp đường tròn         , O      AH   . Gọi   M   là giao điểm của   AO   và  BC   . Chứng minh rằng   2.   .  HB   MB   AB  HC   MC   AC        Dấu bằng xảy ra khi nào ? ----------      HẾT      ----------   Tel: 0905.884.951      0929.484.951 Trường THCS Đào Duy Từ   Năm học 2018      2019 GV: Lê Hồng Quốc   " Cần cù bù thông minh "   Trang 2        2019  Bài 1.   ( 5.0 điểm )  1)   Tính giá trị biểu thức:       3   3   3 A   x   y   x   y             , biết rằng:  3   3 3   2   2   3   2   2 x               và   3   3 17   12   2   17   12   2 y               .  2)   Cho hai số thực   , m   n   khác   0   thỏa mãn:   1   1   1   .  2 m   n        Chứng minh rằng phương trình:          2   2   0 x   mx   n   x   nx   m                luôn có nghiệm.  Giải 1)      Ta có        3 3   3 3   3   2   2   3   2   2   3   2   2   3.   3   2   2   6   3 x   x   x                                 và        3 3   3 3   17   12   2   17   22   2   17   12   2   3.   17   12   2   34   3 y   y   y                                    Cộng vế theo vế, ta được:       3   3   3   3 40   3   3   3   40. x   y   x   y   x   y   x   y                              Vậy   40 A      khi   3   3 3   2   2   3   2   2 x               và   3   3 17   12   2   17   12   2 y               .  2)      Từ    2   2   2   2 1   1   1   4   4   2   .   4   4   0   . 2   m   n   m n   m   n   m   n   m   n m   n                                        Ta có:                  2 2   2 2 0   2 0   1   0   3  x   mx   n x   mx   n   x   nx   m   x   nx   m                                        .     Giả sử cả hai phương trình       2   và       3          2 2   2   2 2 3 0   4   0   4   4   0   . 0   4   0  m   n   m   n   m   n n   m                                                                  Nhận thấy          và          mâu thuẫn nên giả sử sai. Suy ra trong hai phương trình:       2   và       3   có ít nhất một phương trình có nghiệm.     Do đó phương trình       1   luôn có nghiệm.  Bài 2.   ( 5.0 điểm )  1)   Giải hệ phương trình:          2 3 1   1 . 4   5   2  x   xy   y x   y   x                              2)   Tìm nghiệm nguyên của phương trình:   2   2   2 2   1   2   . xy   x   y   x   y   xy                  Giải 1)      0 x      . Ta có:                 1   1   1   0   1   . x   x   y   y   x                         (Do   1   0 x         )     Thay   1 y   x       vào       2   , ta được:             3   3 1 1   1   4   1   0   1   4   1   0 1  x x   x   x   x   x x                                                 2 3   2 3   3 1 1.   1   4   1   0   1 1  x x   x   x x                                                              (Vì              2 3   2 3 1   1   4   1   0,   0 1  x   x   x x                        ). Với   1   0. x   y             Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:   1  0  x y                .